当前,智能革命扑面而来,我们调研各种智能系统、智能机制、智能模型和智能算法背后的原理,发现最优化理论特别是凸优化的模型和算法发挥了重要作用,可以说凸优化是支撑智能革命背后的核心数学机理之一。课程团队2013年开设《凸优化》课程,历经10余年的建设发展实践,取得了较好的育人和创新效益。《凸优化》是面向研究生和高年级本科生的一门重要的基础性课程,主要介绍凸优化学科的概貌、凸优化的集合与函数要素、凸模型的构建转化、凸模型的优美性质、凸模型的典型应用、凸模型的典型算法等内容,目的是为学生打下优势数学基础,为科研创新提供支撑。欢迎大家学习《凸优化》课程,一起感受凸优化之美、掌握凸优化之要、学会凸优化之用,热情拥抱智能时代。
Overview
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Syllabus
- 第一章 课程概貌
- 1.1-数学优化模型
- 1.2-凸优化的作用
- 1.3-凸优化的内容
- 1.4-预备知识之二次范数
- 1.5-预备知识之一般范数
- 1.6-预备知识之拓扑结构
- 1.7-预备知识之函数微分
- 1.8-预备知识之矩阵基础
- 1.9-预备知识之矩阵分块
- 1.10-预备知识之方程求解
- 1.11-预备知识之矩阵分解
- 1.12-预备知识之矩阵计算
- 第二章 凸集合
- 2.1-几类线型与仿射集
- 2.2-凸集合的定义性质
- 2.3-凸锥的定义性质
- 2.4-凸集凸锥的简单例子
- 2.5-凸集凸锥的复杂例子
- 2.6-集合运算保凸
- 2.7-映射保凸性
- 2.8-点到集合的距离
- 2.9-点到凸集的距离
- 2.10-支撑超平面
- 2.11-凸集的分离
- 2.12-广义不等式的定义
- 2.13-广义不等式的性质
- 2.14-最小极小元
- 2.15-对偶锥的定义性质
- 2.16-对偶刻画不等式
- 2.17-最小元刻画
- 2.18-极小元刻画
- 第三章 凸函数
- 3.1-凸函数的定义与扩展表示
- 3.2-凸函数的一阶刻画
- 3.3-凸函数的二阶刻画
- 3.4-凸函数的几个重要例子
- 3.5-凸函数诱导的几个凸集
- 3.6-凸函数诱导的不等式
- 3.7-几类简单的保凸运算
- 3.8-仿射与透视保凸运算
- 3.9-函数复合的保凸运算
- 3.10-共轭函数的定义与计算
- 3.11-共轭函数的性质
- 3.12-拟凸函数定义与例子
- 3.13-拟凸函数的代数刻画
- 3.14-拟凸函数的微分刻画
- 3.15-保拟凸性质的运算
- 3.16-对数凸函数的定义例子
- 3.17-对数凸函数的性质运算
- 3.18-广义单调函数
- 3.19-广义凸函数
- 第四章 凸模型
- 4.1-数学优化模型的概念
- 4.2-数学优化模型的变换
- 4.3-凸优化模型的两类表示
- 4.4-凸模型的优美性质
- 4.5-凸模型的最优性条件
- 4.6-最优性条件的计算
- 4.7-拟凸优化与二分法
- 4.8-典型的数学优化模型
- 4.9-几何优化问题定义例子
- 4.10-几何优化问题的转化
- 4.11-广义不等式约束问题
- 4.12-广义的向量优化问题
- 4.13-向量优化问题的标量化
- 4.14-向量优化问题的计算
- 第五章 对偶理论
- 5.1-Lagrange对偶函数
- 5.2-对偶函数的计算
- 5.3-Lagrange对偶模型
- 5.4-对偶模型的计算
- 5.5-强弱对偶性与条件
- 5.6-对偶的博弈论解释
- 5.7-对偶的函数论解释
- 5.8-对偶的几何学解释
- 5.9-强对偶性成立的证明
- 5.10-优化问题的计算评价
- 5.11-KKT最优性条件
- 5.12-KKT条件的性质
- 5.13-KKT条件的计算
- 5.14-扰动与灵敏度分析
- 5.15-对偶模型与弱择一
- 5.16-对偶模型与强择一
- 5.17-广义优化问题的对偶
- 5.18-广义对偶的数学性质
- 5.19-二次优化与S程序
- 第六章 逼近拟合
- 6.1-范数逼近问题
- 6.2-最小范数问题
- 6.3-正则逼近问题
- 6.4-随机鲁棒逼近
- 6.5-最坏鲁棒逼近
- 6.6-函数族拟合
- 6.7-凸函数插值
- 第七章 统计估计
- 7.1-最大似然估计
- 7.2-最大后验估计
- 7.3-非参分布估计
- 7.4-检测器概念
- 7.5-最优检测器
- 7.6-多准则检测器
- 7.7-鲁棒检测器
- 7.8-Chebyshev界
- 7.9-Chernof界
- 7.10-实验设计问题
- 7.11-实验设计模型
- 第八章 几何问题
- 8.1-点向集合的投影
- 8.2-点与凸集的分离
- 8.3-凸集之间的分离
- 8.4-欧式距离角度
- 8.5-椭球的两种表达
- 8.6-最小外包椭球
- 8.7-最大内接椭球
- 8.8-几何体的中心
- 8.9-集合的超平面分类
- 8.10-集合的Logistic分类
- 8.11-集合的非线性分类
- 第九章 算法框架
- 9.1-下降搜索算法的步骤
- 9.2-下降搜索算法的要素
- 第十章 无约束的直接算法
- 10.1-坐标轮换法
- 10.2-步长加速法
- 10.3-旋转方向法
- 10.4-方向加速法
- 10.5-单纯形方法
- 第十一章 无约束的导数算法
- 11.1-最速下降法
- 11.2-共轭方向的概念
- 11.3-二次函数共轭方向算法
- 11.4-二次函数共轭梯度算法
- 11.5-非线性共轭梯度算法
- 11.6-牛顿法与阻尼牛顿法
- 11.7-拟牛顿法的思想
- 11.8-拟牛顿法之DFP算法
- 11.9-拟牛顿法之BFGS算法
- 11.10-最小二乘法的思想
- 11.11-两类最小二乘算法
- 第十二章 有约束的可行方向法
- 12.1-Frank-Wolfe方法
- 12.2-线性约束Zoutendijk方法
- 12.3-非线性约束Zoutendijk方法
- 12.4-Topkis-Veimott方法
- 12.5-Rosen投影梯度法
- 12.6-Wolfe既约梯度法
- 第十三章 有约束的惩罚函数法
- 13.1-外点法的思想步骤
- 13.2-内点法的思想步骤
- 13.3-等式约束乘子法
- 13.4-不等式约束乘子法
- 13.5-一般约束乘子法
- 第十四章 有约束的线性逼近法
- 14.1-近似优化法
- 14.2-割平面法
- 第十五章 二次模型的特殊算法
- 15.1-Lagrange算法
- 15.2-起作用集算法
- 15.3-Lemke算法
- 第十六章 课程展望
- 16.1-凸优化的理论发展
- 16.2-凸优化的应用拓展
- 期末测试
Taught by
liujin, liweili, chenjie, and zhouwen