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Explore a geometria diferencial de curvas e superfícies através desta série de palestras ministrada pelo Professor Lucas Ambrozio no Instituto de Matemática Pura e Aplicada durante a Escola de Verão 2023. Desenvolva conhecimentos fundamentais sobre curvas no plano e no espaço, incluindo conceitos de comprimento, curvatura e torção. Aprofunde-se no estudo de superfícies em R³, abordando definições, parametrizações, mudanças de coordenadas e planos tangentes. Domine a primeira forma fundamental para cálculos de distâncias e áreas, e compreenda os conceitos de curvatura através da aplicação normal de Gauss e da segunda forma fundamental. Analise curvaturas principais, curvatura Gaussiana e curvatura média, bem como linhas de curvatura e assintóticas. Examine o significado do sinal da curvatura Gaussiana e sua relação com a curvatura média e área. Estude teoremas fundamentais como o teorema da rigidez da esfera e o Teorema de Alexandrov. Distinga entre geometria intrínseca e extrínseca, explorando isometrias e o Teorema Egrégio de Gauss. Compreenda derivadas covariantes, transporte paralelo, curvatura geodésica e geodésicas. Aplique o Teorema de Gauss-Bonnet e explore outros teoremas globais relevantes. As palestras requerem familiaridade prévia com o teorema da função inversa em Rn e conhecimentos básicos de topologia do espaço Rn, seguindo principalmente as referências de Manfredo do Carmo e Montiel & Ros.
