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Explore a teoria ergódica diferenciável através desta série abrangente de palestras ministradas pelo Professor Marcelo Viana no Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Comece com os fundamentos das medidas invariantes e recorrência, estudando os teoremas clássicos de Poincaré e Birkhoff, rotações em toros e transformações conservativas. Aprofunde-se na existência de medidas invariantes utilizando a topologia fraca*, e domine os teoremas ergódicos fundamentais de von Neumann e Birkhoff, incluindo o teorema ergódico subaditivo. Examine a ergodicidade através de exemplos práticos e propriedades das medidas ergódicas, analisando deslocamentos de Bernoulli e endomorfismos lineares do toro. Compreenda o teorema da decomposição ergódica e explore partições mensuráveis com o teorema de desintegração de Rokhlin. Investigue unicidade ergódica, minimalidade e translações em grupos topológicos, incluindo a medida de Haar. Analise o decaimento de correlações em sistemas misturadores e deslocamentos de Markov, estudando equivalência ergódica e espectral com referência ao teorema de Ornstein. Mergulhe na teoria da entropia através do teorema de Kolmogorov-Sinai e do teorema de Shannon-McMillan-Breiman, explorando entropia topológica, deslocamentos de tipo finito e o princípio variacional. Examine transformações expansoras em variedades e aprofunde-se em tópicos avançados incluindo pressão termodinâmica, estados de equilíbrio e o teorema de Ruelle. Explore exatidão, mistura e dimensão de Hausdorff em repulsores conformes, atratores hiperbólicos e medidas de Sinai-Ruelle-Bowen. Conclua com o teorema de Oseledets, desigualdade de Ruelle, fórmula de entropia de Pesin e teoria ergódica de sistemas não-uniformemente hiperbólicos, utilizando referências fundamentais de Bowen, Mañé, Viana e Oliveira.
