泛函分析

泛函分析综合地运用分析、代数和拓扑的方法研究分析数学、现代物理和现代工程技术中的许多问题。这门课程主要让学生会用距离空间的定义验证一个赋以函数d的非空集为距离空间；理解完备性概念，会用完备性定义证明一些简单的完备距离空间的性质；熟练掌握压缩映射原理，会用压缩映射原理证明分析、代数、几何上的不动点问题；理解紧性、有穷交的概念；理解赋范空间的概念，会用赋范空间的定义验证一个空间为赋范空间，掌握赋范空间的一些性质；理解线性算子的定义，掌握线性算子的连续性有界性的性质；理解内积空间的概念，会用这些概念证明Hilbert空间的一些简单性质；理解正交性的概念，会用这个定义证明内积空间中的勾股定理及正交分解的一些性质; 理解正交系和正交基，掌握有界线性算子、共鸣定理及其应用、开映射定理与闭图像定理、Hahn-Banach定理，理解共轭空间与共轭算子、赋范空间共轭算子、紧算子的概念及性质，了解有界线性算子的谱理论，会用哈恩-巴拿赫延拓定理，了解抽象函数的微分和积分、隐函数定理及泛函极值。