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Nella prima parte del corso introdurremo gli spazi metrici, normati e di Banach. In particolare, definiremo gli spazi di Hilbert e ne descriveremo le principali proprietà. In particolare, vedremo che negli spazi di Hilbert è possibile estendere il concetto di ortogonalità e il teorema di Pitagora, ben noti nel piano euclideo. Nella seconda parte introdurremo un nuovo tipo di integrazione in R^n basato sulla cosiddetta misura di Lebesgue. Grazie a questo nuovo concetto possiamo introdurre nuovi spazi funzionali, ovvero i cosiddetti spazi di Lebesgue e gli spazi di Sobolev. Infine, studieremo gli operatori lineari, limiti e compatti, concentrandoci sulle loro proprietà spettrali.
